控制与决策  2020, Vol. 35 Issue (10): 2459-2465  
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张保强, 陈梅玲, 孙东阳, 锁斌. 基于概率盒演化的时变系统不确定性量化方法[J]. 控制与决策, 2020, 35(10): 2459-2465.
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ZHANG Bao-qiang, CHEN Mei-ling, SUN Dong-yang, SUO Bin. Uncertainty quantification for time-variant system based on probability box evolution[J]. Control and Decision, 2020, 35(10): 2459-2465. DOI: 10.13195/j.kzyjc.2019.0283.
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基金项目

国家自然科学基金项目(51505398);国家自然科学基金委员会与中国工程物理研究院联合基金项目(U1530122)

作者简介

张保强(1981-), 男, 助教, 博士, 从事飞行器结构仿真模型确认方法的研究, E-mail: bqzhang@xmu.edu.cn;
陈梅玲(1990-), 女, 硕士生, 从事不确定性量化方法的研究; E-mail: 35020171150918@stu.xmu.edu.cn;
孙东阳(1985-), 男, 讲师, 博士, 从事模型确认、系统可靠性分析与评估的研究, E-mail: sundongyang@cqu.edu.cn;
锁斌(1979-), 男, 副研究员, 博士, 从事不确定性信息处理、系统可靠性分析与评估等研究, E-mail: suo.y.y@ 163.com。

通讯作者

张保强(1981-), E-mail: bqzhang@xmu.edu.cn

文章历史

收稿日期:2019-03-12
修回日期:2019-07-13
基于概率盒演化的时变系统不确定性量化方法
张保强 1, 陈梅玲 1, 孙东阳 2, 锁斌 3     
1. 厦门大学 航空航天学院,福建 厦门 361102;
2. 重庆大学 航空航天学院,重庆 400044;
3. 中国工程物理研究院 电子工程研究所,四川 绵阳 621900
摘要:针对时变系统的不确定性量化和传递问题, 提出一种概率盒演化方法.根据系统的时变规律, 获取系统响应的累积分布函数随时间变化的规律.将认知不确定性参数和随机不确定性参数分离在外层和内层, 用蒙特卡洛法量化外层的认知不确定性参数, 用基于随机配点的非嵌入式混沌多项式法量化内层的随机不确定性参数, 通过求取不同时刻系统响应的累积分布函数的上下边界创建时变概率盒.最后, 通过一延时电路性能退化算例验证所提出方法的有效性.研究表明, 时变概率盒不仅可以表征系统特定时刻的混合不确定性, 而且反映了输出响应的时变规律和输出不确定性随时间变化的趋势.
关键词混合不确定性    累积分布函数    时变概率盒    混沌多项式展开    
Uncertainty quantification for time-variant system based on probability box evolution
ZHANG Bao-qiang 1, CHEN Mei-ling 1, SUN Dong-yang 2, SUO Bin 3     
1. College of Aerospace Engineerring, Xiamen University, Xiamen 361102, China;
2. College of Aerospace Engineerring, Chongqing University, Chongqing 400044, China;
3. Institute of Electronic, China Academy of Engineering Physics, Mianyang 621900, China
Abstract: A probability evolution method is proposed to quantify time-variant systems with mixed uncertainty based on a probability box. The cumulative distribution function\, (CDF) evolution is obtained from time-variant system response. The double-loop sampling method is used to separate for the epistemic uncertainties from the sampling of the aleatory uncertainties. The outer loop is for sampling of the epistemic uncertainties by Monte Carlo, and the inner loop is for sampling the aleatory uncertainties by a point-collocation non-intrusive polynomial chaos method. A time-variant probability box for system response can be obtained by the CDF boundary calculating at different time. The proposed method is verified through a delay performance degradation circuit. The studies demonstrate that the time-variant probability box not only quantifies the mixed uncertainty at each time, but also reflects the system response and uncertainty changing with time.
Keywords: mixed uncertainty    CDF    time-variant probability box    polynomial chaos expansion    
0 引言

从不确定属性角度看, 系统输入不确定性一般可分为随机不确定性和认知不确定性[1].实际工程系统中经常同时存在这两种不确定性.目前, 处理这类混合不确定性的方法主要有概率盒(probability box, P-box)方法、二阶概率理论(second order probability, SOP)和Dempster-Shafer理论(Dempster Shafer theory, DST)[2], 其中, 概率盒是通过求取累积分布函数(cumulative distribution function, CDF)的上下边界来量化混合不确定性, 近年来备受关注[3-6].目前, 这3种混合不确定性量化方法主要用于分析特定时刻的系统响应[7].然而, 由于材料退化、环境腐蚀氧化、运动磨损、动态载荷等因素的影响, 工程系统的性能参数将会发生变化, 这是一个动态的时变过程.准确合理地量化这些不确定性因素及其演化过程对系统的影响, 对于实现更符合实际工程的系统设计具有重大意义.

对时变系统进行不确定性分析, 国内外学者主要集中于时变不确定性结构的时变可靠性研究[8-12].然而, 鲜有文献提及时变系统的混合不确定性量化与传递问题.

时变系统的不确定性参数具有动态特性, 导致其概率信息也随时间发生变化. Mitani等[13]研究了在偏压温度应力下, 具有超薄栅极氧化层的P型金属氧化物半导体场效晶体管和N型金属氧化物半导体场效晶体管的阈值电压的CDF的时变规律, 为含这类金属氧化物半导体场效晶体管的电路可靠性分析奠定了基础. Li等[14]发展了一类概率密度演化理论, 用于求解任意时刻随机结构响应的概率密度曲线. Zhai等[15]针对性能退化的电子电路提出了基于系统响应的概率演化特性的容差设计方法, 以提高电路鲁棒性.陈健云等[16]针对大坝抗震性能退化问题, 基于概率演化分析, 获得了坝体服役期间丰富的概率演化信息和动力可靠度时变规律, 为大坝抗震安全评估提供了新思路.薛斌等[17]基于概率密度演化方法, 由铅芯橡胶支座参数的变异性得到支座水平等效刚度的概率密度曲线, 以此分析输入参数的变异性对输出性能指标的影响. Chen[18]研究了混凝土裂缝的演变规律, 为评价混凝土裂缝增长及其结构强度劣化情况提供了依据.

本文基于系统响应的CDF演化规律, 结合概率盒理论, 提出一种时变概率盒方法以量化时变系统的混合不确定性.利用双层嵌套蒙特卡洛(Monte Carlo simulation, MCS)和混沌多项式展开(polynomial chaos expansion, PCE)法高效求取不同时刻系统响应的CDF上下边界, 创建时变概率盒.相比于文献[7]中的特定时刻的概率盒, 本文提出的时变概率盒给出了系统响应在时域上的变化情况, 同时也给出了不同时刻输出不确定性的变化趋势, 为实现更精细化、更经济的系统设计和更安全的可靠性设计奠定了基础.最后, 以一延时电路长期工作过程中的性能退化问题为应用算例, 验证了所提出时变概率盒方法的有效性.

1 理论和方法 1.1 混沌多项式展开

PCE[19]是利用正交多项式的混沌之和建立输出变量与输入变量之间的函数关系, 可以快速求取输出变量的概率信息.

考虑一个模型Y=M(β), 其中β=[β1, β2, …, βn]是已知概率分布的输入变量. Y在基函数空间的正交展开为

(1)

其中: φ(βi)是根据随机变量β的概率分布类型选定的正交多项式基函数[20], αi是多项式系数.

引入截断误差, 用有限项拟合式(1).于是, Y关于n维随机变量βd阶截断混沌多项式展开为

(2)
(3)

其中p为截断系数, 用来统计Ŷ的PCE项数.

利用随机配点法[21]求解非嵌入式混沌多项式展开(non-intrusive polynomial chaos expansion, NIPCE)的系数, 则式(2)可转化为一个线性方程组

(4)

其中式(4)的右侧是选定随机点代入原始模型的计算结果.对式(4)进行线性计算, 即可求得多项式系数.

为了评价PCE模型精度, 引入误差err[22], 定义如下:

(5)

其中: Y是原始模型的输出响应, YNIPCE是PCE模型的输出响应.

err[Y]可由N个样本估计得到, 即

(6)

其中: i=1, 2, …, N, Yi是原始模型的第i个输出响应, YNIPCEi是PCE模型的第i个输出响应, μYN个原始模型输出响应的均值.

1.2 概率盒

对于随机变量X, 当其估计值不是精确的点估计值时, X的累积概率函数F(x)不能用一条曲线表示(其中, F(x)=P(X < x), xR), 定义其上界和下界[23]

(7)

F(x)≤F(x)≤F(x), 记作[F, F]. F(x)与F(x)之间就定义了一个概率盒, 它不但可以描述未知参数的分布, 而且能够描述未知类型的分布.

基于概率盒的不确定性传播旨在将输入不确定性传递至输出响应, 并用概率盒表征输出响应的不确定性.用传统双层抽样法(如双层循环抽样、参数优化抽样、P-box卷积抽样[24])求取概率盒, 虽然操作程序简单、应用灵活, 但是, 需要大量采样和重复计算, 计算效率低下, 不适用于复杂的工程问题.

1.3 基于双层MCS/NIPCE的时变概率盒

为改善传统双层抽样法效率低下的问题, 本文首先利用双层嵌套MCS和NIPCE(双层MCS/NIPCE)法高效创建单个概率盒; 然后, 基于系统响应的CDF演化规律, 改进双层MCS/NIPCE, 高效创建时变概率盒.

为减少复杂结构时变不确定性分析时庞大的计算量, 这里用离散的典型时刻的单一概率盒组成时变概率盒.

基于改进的双层MCS/NIPCE法构建时变概率盒的操作流程如图 1所示, 具体步骤如下.

图 1 基于改进的双层MCS

step 1:对认知不确性参数进行M次抽样, 若采用拉丁超立方抽样(Latin hypercube sampling, LHS), 则M的最小值可以参考文献[25]M=m3+2进行估算, 其中m是认知不确定性参数的数量.

step 2:对随机不确定性参数进行N次抽样, 为能精确描述系统响应的分布, N一般要求较大.

step 3:从每一个认知不确定性参数的区间选择一个样本.

step 4:在给定认知不确定性样本的条件下, 根据随机不确定性参数的分布类型选择合适的正交多项式基底φ(βi).

step 5:采用与高阶作精度对比的方法, 选择合适的阶数d和配点数.

step 6:将配点代入计算模型中得到系统输出值, 并根据随机配点法求解PCE系数αi.

step 7:先将阶数d和随机变量维数n代入式(3)计算p, 再将p、step 4选定的φ(βi)和step 6求解的αi分别代入式(2)建立PCE模型.

step 8:从每一个随机不确定性参数的分布中选择一个样本.

step 9:通过PCE模型计算得到样本点在Q个时刻的系统响应值.

step 10:判断随机不确定性参数的N个样本是否已经评估完.如果否, 则返回step 8;如果是, 则继续step 11.

step 11:用Q组系统响应量的样本(每组有N个样本)分别构造Q条CDF曲线, 得到系统响应的CDF在Q个时刻的演化规律.

step 12:判断认知不确定性参数的M个样本是否已经评估完.如果否, 则返回step 3;如果是, 则继续step 13;

step 13:将Q组CDF(每组有M条CDF)画在同一张图上, 某组CDF的下边界F(x)与上边界F(x)之间即确定了某特定时刻的概率盒, Q组CDF的上下边界即组成了Q个时刻的时变概率盒.

2 时变混合不确定性量化算例

由于材料差异、制造和装配误差等影响, 导致电子元器件参数存在不确定性, 且在长期工作过程中, 电子元器件发生退化, 各不确定参数随时间发生演化, 影响电路的整体性能.这里以一延时电路性能退化问题为例, 说明时变概率盒的应用.

基于Synopsys公司的Saber软件建立某延时电路的仿真模型, 如图 2所示.该电路的主要功能是在输入12 V、5 V直流电压和YSQDctr控制信号的情况下输出YSXH延时信号, YSXH延时信号相对于YSQDctr控制信号产生0.5 s的延时.对此, 研究电子元器件参数的混合不确定性演化过程对延时时间的影响.

图 2 延时电路的仿真模型

首先, 确定延时电路的关键退化元器件参数.基于木桶原理, 将问题转化为考察关键退化元器件的不确定性参数对延时时间的影响, 以提高分析效率.综合灵敏度分析和性能退化分析结果, 确定关键退化元器件参数.

图 2的延时电路仿真模型进行灵敏度分析, 表 1给出了延时电路的电子元器件参数的灵敏度值排序情况.

表 1 延时电路的电子元器件参数的灵敏度值排序

由于缺乏延时电路的相关元器件性能退化的数据, 假设其各元器件的主要参数按线性退化, 用下式所示的退化函数来表征退化规律:

(8)

其中: x0是初始时刻参数值, xtt时刻参数值, a是退化率, t是退化时刻, 并假设x0a相互独立.

假设电阻R31和R33的退化率服从正态分布, 退化率均值为4 ppm/h, 3倍标准差为1 ppm; 其他元器件的退化率服从正态分布, 退化率均值为2 ppm/h, 3倍标准差为0.4 ppm.

定义关键退化值为灵敏度值与退化率均值的乘积, 以关键退化值排序情况作为关键退化元器件参数选择的依据. 表 2给出了延时电路的电子元器件参数的关键退化值排序情况(表 2中, 1 u=10-6), 据此选定C30的电容值、R31和R33的阻值为延时电路的关键退化元器件参数.

表 2 延时电路关键退化值排序情况

在延时电路的关键退化元器件参数中, 假设R31属于认知不确定性参数, C30和R33属于随机不确定性参数, 且各不确定性参数之间相互独立. 表 3给出了R31、C30和R33的不确定性取值情况.

表 3 延时电路关键退化值排序情况

其次, 建立延时电路的PCE模型, 用于双层MCS/NIPCE的内层来量化随机不确定性参数.以退化至100×103 h的延时电路为例, 阐述基于随机配点法建立PCE模型的过程, 具体步骤如下.

step 1:根据不确定参数的概率分布类型选择PCE基底φ(βi), 延时电路的随机不确定性参数C30、R33互相独立且服从正态分布, 此处选取Hermite多项式作为基底.采用与高阶作精度对比的方法, 确定PCE的阶数为2阶.

step 2:基于拉丁超立方抽样抽取12个配点样本, 根据式(4)进行线性计算, 求取PCE系数αi.

step 3:计算PCE模型的精度.根据上述信息建立PCE模型, 求得err为1.97e-10, 精度满足使用要求.以MCS为比较对象, PCE与MCS量化随机不确定性参数C30、R33的对比结果见图 3, 显然, 两种方法的量化结果基本吻合.

图 3 MCS和PCE量化随机不确定性参数的对比结果

再次, 结合关键退化元器件参数的退化函数建立不同时刻的PCE模型.对模型抽取N个样本, 求解模型在不同时刻系统响应值(每个时刻均有N个系统响应值), 再基于不同时刻的系统响应量, 获取系统响应在不同时刻的CDF演化情况. 图 4给出了基于延时电路的PCE模型在0 h、20 ×103 h、40 ×103 h、60 ×103 h、80 ×103 h、100 ×103 h这6个退化时刻的CDF演化结果, 其中每条CDF曲线的抽样次数都为1 000.由图 4可知, 随着工作时间增加, 延时时间不断增长, 延时电路性能发生退化.

图 4 延时电路在6个退化时刻的CDF演化结果

最后, 利用改进的双层MCS/NIPCE法创建时变概率盒.对表 3中的参数进行50×1 000的内外层抽样, 获得对应6个时刻的6组CDF曲线, 每组曲线有50条CDF曲线; 提取6组CDF曲线下边界F(x)和上边界F(x), 得到由6个时刻的概率盒组成的时变概率盒.

图 5图 6给出了延时电路在6个退化时刻的概率盒时变情况, 其中图 6图 5YOZ平面的投影.

图 5 延时电路在6个退化时刻的时变概率盒
图 6 延时电路在6个退化时刻的时变概率盒在YOZ平面的投影

图 5图 6中可以得到以下信息:

1) 由图 5可知, 随着工作时间的累加, 延时时间均值近似从0.5 s增加到0.9 s, 延时电路的延时性能不断退化.

2) 由图 6可知, 随着工作时间的累加, P-box的宽度不断变大(例如, 0 h时刻P-box的宽度大约占据0.02 s, 而到100×103 h时刻, 其宽度增加到了近似0.04 s), 说明延时电路的认知不确定性不断变大.

3) 由图 6可知, 随着工作时间的累加, P-box在delay(s)轴跨越的范围不断扩大(例如, 0 h时刻P-box跨越0.14 s, 而到100×103 h时刻P-box跨越了近似0.24 s), 说明延时电路的随机不确定性不断变大.

综上, 随着延时电路工作时间的累积, 电子元器件发生退化, 各项不确定性因素随时间发生演化, 使得延时时间不断变大, 其不确定性也不断增加.这就要求在设置电路故障判定标准时, 不仅要考虑电路性能参数的阈值判定, 而且要考虑参数不确定性判定.时变概率盒不仅为电路的故障判定提供更为精细的标准, 也为电子元器件的精度选择提供了更为精细的依据.

分别使用双层MCS和改进的双层MCS/NIPCE求取该延时电路输出响应的时变概率盒, 双层MCS需调用模型50×1 000次, 而改进的双层MCS/NIPCE仅需调用模型50×12次, 可见, 改进的双层MCS/NIPCE极大地提高了计算效率.

3 结论

本文提出了时变概率盒的方法来量化时变系统的混合不确定性, 并通过电路性能退化的算例验证了该方法的有效性, 主要结论如下:

1) 在获取系统响应的CDF演化规律的基础上, 结合概率盒理论, 利用改进后的双层MCS/NIPCE求取时变概率盒.与双层MCS相比, 双层MCS/NIPCE法在计算效率方面体现出明显的优势.

2) 时变概率盒不仅表征了特定时刻的混合不确性, 而且反映了输出响应的时变情况和输出不确定性随时间变化的趋势, 为系统设计和可靠性分析提供了更符合实际和更为精细准确的依据.

3)概率盒是一种不精确的概率模型, 本文在100 %的置信度下求取时变概率盒, 其置信度问题有待于进一步研究.

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