控制与决策  2020, Vol. 35 Issue (10): 2336-2344  
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李晓宝, 赵国荣, 刘帅, 温家鑫. 考虑攻击角度和视场角约束的自适应终端滑模制导律[J]. 控制与决策, 2020, 35(10): 2336-2344.
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LI Xiao-bao, ZHAO Guo-rong, LIU Shuai, WEN Jia-xin. Adaptive terminal sliding mode guidance law with impact angle and fieldof-view constraints[J]. Control and Decision, 2020, 35(10): 2336-2344. DOI: 10.13195/j.kzyjc.2019.0058.
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基金项目

国家自然科学基金项目(61473306)

作者简介

李晓宝(1990-), 男, 博士生, 从事飞行器导航制导与控制、先进控制理论与应用的研究, E-mail:lixiaobaohjhy@163.com;
赵国荣(1964-), 男, 教授, 博士生导师, 从事飞行器控制与导航技术等研究, E-mail: grzhao6881@163.com;
刘帅(1990-), 男, 博士生, 从事飞行器导航制导与控制的研究, E-mail: 15165714808@163.com;
温家鑫(1995-), 男, 硕士生, 从事飞行器导航制导与控制的研究, E-mail: 292970961@qq.com

通讯作者

李晓宝, E-mail:lixiaobaohjhy@163.com

文章历史

收稿日期:2019-01-11
修回日期:2019-05-15
考虑攻击角度和视场角约束的自适应终端滑模制导律
李晓宝 1, 赵国荣 2, 刘帅 1, 温家鑫 1     
1. 海军航空大学 岸防兵学院,山东 烟台 264001;
2. 海军航空大学 参谋部,山东 烟台 264001
摘要:针对导弹拦截机动目标的末制导问题, 基于有限时间滑模控制理论设计一种带有攻击角度和导弹视场角约束的制导律.首先, 将导弹末制导问题转化为带有状态约束的制导系统稳定问题, 设计一种新型的非奇异终端滑模面和时变的障碍Lyapunov函数, 给出一种终端滑模制导律的设计方法, 并针对目标机动的不确定性设计一种对目标机动上界的自适应估计; 然后, 通过稳定性理论证明制导系统的状态变量最终是有限时间收敛的, 并且结合时变的障碍Lyapunov函数和滑模面的设计特性证明在末制导过程中视场角约束条件始终不会被违背, 相比于现有的考虑视场角约束的制导律, 该制导律不存在指令转换, 能够加快制导系统收敛速率, 增强制导系统的抗干扰能力; 最后, 通过仿真实验验证所提出制导方法的有效性.
关键词制导律    攻击角度约束    视场角约束    非奇异终端滑模    障碍Lyapunov函数    有限时间收敛    自适应控制    
Adaptive terminal sliding mode guidance law with impact angle and fieldof-view constraints
LI Xiao-bao 1, ZHAO Guo-rong 2, LIU Shuai 1, WEN Jia-xin 1     
1. School of Coast Defence, Naval Aviation University, Yantai 264001, China;
2. University Staff, Naval Aviation University, Yantai 264001, China
Abstract: To solve the terminal guidance problem of missiles intercepting maneuvering targets, a guidance law with impact angle and field-of-view constraints is designed based on the finite-time sliding mode control theory. Firstly, the terminal guidance problem is transformed into the stability problem of the guidance system with state constraints. And, a new nonsingular terminal sliding mode surface and a time-varying barrier Lyapunov function are given, and a terminal sliding mode guidance law is proposed. In addition, an adaptive estimation of the upper bound of the target acceleration is designed for the uncertainty of the target maneuver. Then, the stability theory proves that the state variables of the guidance system are finally finite-time convergence, and field-of-view constraint will not be violated in the whole guidance process based on the design characteristics of the time-varying barrier Lyapunov function and sliding mode surface. Compared with the existing guidance laws considering field-of-view constraint, the guidance law has no command conversion, which can accelerate the convergence rate of the guidance system and enhance the robustness of the guidance system. Finally, simulation experiments verify the effectiveness of the guidance method.
Keywords: guidance law    impact angle constraint    field-of-view angle constraint    nonsingular terminal sliding mode    barrier Lyapunov function    finite-time convergence    adaptive control    
0 引言

导弹末制导能够使得导弹对目标进行精确打击, 为使毁伤效果最大化, 通常需要导弹在命中目标时具有特定的攻击角度.针对攻击角度约束的末制导问题, 采用的制导方法包括带有偏置项的比例导引[1]、基于最优控制理论的制导律[2-3]H∞制导律[4]以及微分对策制导律[5].

滑模控制因其对系统不确定性和外部干扰具有较强的鲁棒性, 近年来已广泛应用于制导律的设计中[6].带有攻击角度的终端滑模制导律通过引入非线性的终端滑模面能够使得制导系统在有限时间内收敛, 提高了制导性能[7].针对终端滑模面存在的奇异性问题, 文献[8]在终端滑模面临近奇异区域时设计了转换滑模面.文献[9]设计了一种快速非奇异终端滑模面, 不仅避免了奇异问题而且提高了制导系统的收敛速率.

为了满足期望的攻击角度需求, 导弹弹道通常比较弯曲, 导致目标超出导弹的导引头视场范围, 使得导弹导引头丢失跟踪的目标, 在末制导过程中随着弹目相对距离的不断减小, 这种问题更加容易发生.因此, 导弹末制导律在研究攻击角度约束的同时需要考虑导视场角约束.针对此类问题, 文献[10]设计了一种偏置比例导引制导律, 针对偏置项进行三阶段改进以使得导弹满足攻击角度和视场角的约束; 文献[11]设计了一种带攻击角度的终端滑模制导律, 在此基础上引入一个视场角约束项, 当视场角大于预先设定的阈值时, 启动视场角约束项来锁定视场角的值.文献[10-11]的制导方法在设计过程中均采用逻辑转换的制导策略限制视场角约束, 使得制导律存在指令转换的问题.文献[12]提出了一种通过改变初始弹目视线(line of sight, LOS)角或放松攻击角度约束条件的方式以满足导引头视场角约束的制导方法, 因为其视场角取值范围受其他条件约束而降低了制导律的适用范围.文献[13]基于滑模控制理论, 设计一种大小受限的符号函数制导律, 以满足攻击角度和视场角约束, 但文献[12-13]只适用于静止目标.视场角约束问题可以转化为状态受限的控制问题, 文献[14]结合积分型障碍Lyapunov函数, 设计了一种新型滑模制导律, 但所设计的滑模面不能确保制导系统状态变量是有限时间收敛的.文献[15]在导引控制一体化设计中同样采用积分型障碍Lyapunov函数考虑视场角的约束问题, 但是没有对攻击角度进行约束, 且文献[14-15]中积分项的引入使得制导律求解过程较为困难, 得出的制导律形式复杂.

本文设计一种新型的自适应终端滑模制导律, 使得导弹在拦截机动目标的过程中能够同时满足终端攻击角度和导弹视场角约束.首先, 通过将视场角约束转化为弹目视线法向上的弹目相对速度约束, 建立了导弹末制导的状态受限非线性运动模型, 使得制导律在设计过程中能够同时考虑攻击角度和视场角约束, 不存在逻辑转换的问题; 然后, 设计一种新型的非奇异终端滑模面, 不仅能保证制导系统状态变量在滑模面上有限时间收敛, 加快收敛速率, 而且通过合理的设计限定了滑模面上受限状态变量的取值范围, 以保证视场角约束始终不会被违背; 接着, 设计了一种结构简单的时变障碍Lyapunov函数, 通过Lyapunov稳定性理论证明了所设计的制导律能够使得制导系统状态变量在有限时间内收敛到滑模面上, 根据障碍Lyapunov函数的性质确保了系统状态变量始终受到约束, 并针对目标机动引起的外部扰动, 设计了一种目标机动上界的自适应律, 使得制导律无需事先知道目标的机动信息; 最后通过仿真验证了该制导律在不同的攻击角度和视场角约束要求下均能够使导弹准确地命中目标, 通过与现有制导律的对比, 该制导律使导弹制导时间短, 弹目视线角收敛速率快.

1 问题描述和基础知识 1.1 问题描述

导弹末制导的运动关系如图 1所示.假定导弹和目标速度VMVT恒定, rq为导弹与目标之间的相对距离和LOS角, aMaT为导弹和目标的法向加速度, φMφT为导弹和目标的前置角, γMγT为导弹和目标的航迹角.制导系统的运动学关系可以表示为

(1)
图 1 导弹和目标之间的运动关系

表示弹目相对速度在垂直于弹目视线方向的分量, 对其求关于时间t的一阶导数可以得到

(2)

其中d=aTcos φT.

假设1     d可以看作是目标机动引起的外部干扰, 假设Δ≥0为一常数, 表示目标机动aT最大值, 可知|d|≤Δ.

导弹的终端攻击角度θimp为导弹成功拦截目标时弹目速度之间的夹角, 若γTfγMf为导弹和目标的终端航迹角, 则θimp=γTf-γMf.导弹终端攻击角度θimp与终端LOS角qf存在一一对应的关系[16], 有

(3)

因此, 导弹末制导攻击角度θimp约束可以转化为终端LOS角qf约束的问题.

假设qd是期望的末制导终端LOS角, 定义x1=q-qd为LOS角跟踪误差, x2=Vq为弹目视线法向上的弹目相对速度.由式(1)和(2)可得

(4)

针对捷联导引头, 导弹的视场角定义为弹体速度方向与弹目视线方向的夹角, 导弹在末制导过程中攻角可近似为零, 因此可用导弹前置角φM表示导弹的视场角.假设导弹允许的最大视场角为φmax, 本文的目的是通过设计导弹制导指令aM使LOS角跟踪误差x1以及弹目视线法向上的弹目相对速度x2在有限时间内收敛到原点, 确保导弹能够以期望的终端LOS角qd准确命中目标, 同时末制导过程中满足导弹视场角约束|φM|≤φmax.由式(1)可知|φM|≤φmax成立的一个充分条件为

(5)

其中k=VM sin φmax-VT.

假设2    为使导弹能够顺利拦截目标, 假设目标和导弹的速度比, 此时有k>0.

1.2 基础知识

定义1 [17]   假设函数V(x)是与系统=f(x, t)相关且定义在包含原点的开区间D上的一类函数, 若V(x)满足以下性质, 则函数V(x)称为障碍Lyapunov函数:

1) 在定义域D内连续可微且正定;

2) 当x趋于区间D的边界时, V(x)→ ∞fty;

3) 对于任意时间t≥0和x(t)∈ D, 均存在一个正常数b, 使得V(x)沿着=f(x, t)的解可以得到V(x)≤ b.

若定义域D随时间t变化, 则函数V(x)称为时变的障碍Lyapunov函数.

引理1 [18]   假设存在一个定义在包含原点的区间URn上的D1光滑正定函数V(t), 且V(t)满足不等式

(6)

其中: ab>0, 0 < γ < 1, t>t0, t0为系统初始时间.则V(t)能够有限时间收敛到零, 且对应的收敛时间tf

(7)

引理2 [19]   假设存在一个定义在包含原点的区间URn上的C1光滑正定函数V(t), 且V(t)满足不等式

(8)

其中: λ>0, 0 < γ < 1, t>t0, t0为系统初始时间.则V(t)能够有限时间收敛到零, 且对应的收敛时间tf

(9)

引理3 [20]   对于任意的|ξ|≤1和正整数p, 如下不等式成立:

引理4 [17]   对于任意的正数k, 令A={xR:|x| < kB=Bl× ARl+1均为开区间, 考虑系统, 其中, η=[ω, x]TB, 函数h:R+× BRl+1在时间t上是分段连续的, 且在时间t以及定义域R+× B上关于x满足局部一致Lipschitz条件.假设存在函数U :RlR+以及V1:AR+在其各自的定义域内连续可微且正定, 并满足:当|x| → k时, V1x→ ∞ γ1(║ω║)≤ U(ω)≤γ2(║ω║), 其中γ1γ2K∞类函数.对于函数V(η)=V1(x)+U(ω)以及初值x(0)∈ A, 如果不等式

(10)

成立, 则对于任意的时间t ∈[0, ∞), 均有xA.

2 自适应终端滑模制导律设计

构造如下滑模面:

(11)

其中: α=kγ, signγ x2=|x2|γsign(x2), β>0, 1 < γ < 2.符号函数sign(x1)和sign(x2)在滑模面(11)中默认为常值-1或1, 不影响对滑模面导数的求解, 因此对式(11)求导可得

(12)

设计制导律

(13)

其中: k1k2>0;σ>1;0 < γ1 < 1; 定义为对目标机动aT的最大值Δ的自适应估计, 其自适应律为

(14)

, ξ定义见后文.

定理1   对于制导系统(4), 若采用本文构造的滑模面(11), 制导指令aM设计为式(13), 并且制导系统(4)的状态变量x2满足约束条件|x2| < k, 则有如下结论成立:

1) 滑模变量s和估计误差均有界;

2) 滑模变量s有限时间内收敛到零;

3) 制导系统(4)的状态变量x1x2在导弹拦截目标前能够有限时间内收敛到0.

证明

1) 考虑如下Lyapunov函数:

(15)

其中:时变障碍Lyapunov函数

p为正整数.可知, α+g sign(s)>0.令

Φ(s)可转化为

(16)

因为|x2| < k, 由式(11)可知|s| < α+gsign(s), 所以|ξ| < 1.对Φ(s)求导可得

(17)

将制导律(13)代入(17), 得到

(18)

由式(14)和(18), Lyapunov函数V的导数可以写为

(19)

因为 ≤0, 所以V是有界的, 滑模变量s和估计误差均是有界的.

2) 考虑如下Lyapunov函数:

(20)

对Lyapunov函数V1求导, 代入式(18), 得到

(21)

因为φ(x1, x2, s)≥0, 由自适应律(14)可知 > 0, 若选取一个足够大的使得 ≥| |, 并且σ满足

(22)

其中η为任意小的正常数, 则

(23)

由引理3可知, 因此由式(21)和(23)可得

(24)

x2≠0时, 由引理1可知, 制导系统(4)能够在有限时间内收敛到s=0.当x2=0时, 将制导律(13)代入制导系统(4), 可得

(25)

s>0, 可知

(26)

s < 0, 可知

(27)

故当s≠0时, 始终有2≠0, 即x2=0不是制导系统在滑模面到达过程中的吸引子, 因此x2=0并不会影响滑模面s的有限时间收敛特性.

3) 考虑如下Lyapunov函数:

(28)

当制导系统(4)状态变量x1x2到达滑模面(11)时, 由s=0可知x1x2≤0, 此时

(29)

对Lyapunov函数V2求导, 可得

(30)

可知.若制导系统到达滑模面的时刻为tr, 则在滑模面s=0上满足|x1|≤|x(tr)|.进一步可得

(31)

由引理2可知, 制导系统的状态变量x1x2能够在有限时间内收敛到0, 因此导弹最终可以有效地拦截目标.

若导弹拦截目标的终端时刻为tf, 则弹目相对距离r满足r≤(VM+VT)tgo=(VM+VT)(tf-t).有

(32)

对上述不等式两边积分求解, 可得

(33)

其中trttf.

可知V2是一个非增正定函数, 由式(33)可知当ttf时, 又因为V2(tr)≥0, 因此存在一个时刻ts满足trts < tf, 使得V2(ts)=0, 此时有x1=x2=0.因此, 制导系统的状态变量x1x2在导弹拦截目标前能够在有限时间内收敛到0.□

定理2    若末制导初始时刻|x2(0)| < k, 则在制导律(13)的作用下制导系统(4)的状态变量x2始终满足约束条件|x2| < k.

证明   制导系统(4)的状态变量在滑模面到达过程中, 对于Lyapunov函数Φ(s), 当|x2|→ k时, |s|→ α+gsign(s), Φ(s)→ ∞.在区间A={x2R:|x2 < k内有|s| < α+gsign(s).由定理1可知, 在制导律(13)的作用下, , 因此当|x2(0)| < k时, 有|s(0)| < α+g(0)sign(s), 由引理4可知|s| < α+ g sign(s), 因此约束条件|x2| < k在滑模面到达过程中始终成立.

制导系统(4)的状态变量在滑模面上滑动时, 由s=0可知.因此在制导律(13)作用下, 若初始条件|x2(0)| < k, 则制导系统(4)的状态变量x2始终满足约束条件|x2| < k. □

注1    针对考虑攻击角度约束的有限时间末制导问题, 文献[21]给出了非奇异终端滑模面的一般形式, 即

其中1 < γ=p/q < 2, pq为正奇数.但该滑模面在设计过程中没有考虑视场角约束.文献[11]设计了一种类似结构的终端滑模面, 同样没有考虑视场角的问题, 而是采用逻辑转换的策略在带有攻击角度约束制导律aimpact的基础上附加一种视场角约束切换项alock, 这便造成所设计的制导律存在指令转换, 可能引起指令跳变的问题, 为此需要采用相关技术“弱化”这一问题.本文在设计滑模面(11)时直接考虑视场角约束的问题, 构造了一个受限项α(1-e-β|x1|)使得系统的状态量x2在滑模面上始终满足约束|x2| < k.同时, 不同于文献[11, 21]给出的传统Lyapunov函数设计方法, 本文设计了一种时变障碍Lyapunov函数Φ(s), 利用Φ(s)的性质, 使得|x2| < k这一约束条件在滑模面到达过程中也始终成立.因此, 本文设计的制导律(13)相较于文献[11, 21]在满足视场角约束的同时不存在指令切换过程.

注2   文献[14]设计滑模面

其中ω=k/(|x1|+ε), ε>0.利用一类现有的积分障碍Lyapunov函数, 设计制导律实现攻击角度和视场角的同时约束.相较于上述滑模面, 本文设计的滑模面(11)能够保证制导系统在滑模面上满足有限时间收敛特性, 加快了制导系统的收敛速率.同时, 新设计的时变障碍Lyapunov函数Φ(s)结构更加简单, 易于求解, 有利于制导律的实现.

注3   由于符号函数sign(s)的存在, 制导律(13)是非连续的, 可能会引发颤振现象.为了减少颤振, 采用边界层技术, 用一种Sigmoid函数近似代替符号函数sign(s), 有

(34)

其中τ为边界层厚度, 也称消颤因子.采用边界层技术处理符号函数后, 滑模面s实际是收敛到边界层而不是收敛到0, 因此τ的取值一般较小.若τ取值较大则会影响制导系统的实际收敛效果, 降低滑模面和系统状态量的收敛精度.同时τ的取值也不宜过小, 否则会增大颤振.因此, 需要根据实际情况选取适当的τ值, 达到削弱颤振的同时不影响控制效果.此时, 制导律(13)即可修改为如下形式:

(35)

式(35)即为本文最终设计的考虑攻击角度和视场角约束的自适应终端滑模制导律(FIANTSMG).

3 仿真分析

对设计的制导律进行仿真分析, 初始弹目距离为r0=5 km, 初始弹目LOS角为q0=60°; ,初始航迹角γM0=30°, γT0=100°, 导弹和目标的速度VM= 300 m/s, VT=50 m/s. FIANTSMG参数取β=10, γ =1.5, k1=2, k2=1, γ1=0.5, τ=0.01, σ=1.5, , 目标的机动aT=g cos(π t/4), 导弹最大加速度限定为20 g, 重力加速度g=9.8 m/s.

3.1 以不同的视场角φM约束拦截目标

假设导弹拦截目标时期望的终端LOS角度qd为45°, 导弹的最大视场角φmax分别为30°、45°、60°, 针对FIANTSMG进行仿真分析, 结果如图 2所示.

图 2 以不同的导弹视场角约束拦截目标

图 2(a)可见, 当导弹的视场角φM约束不同时, 在制导律FIANTSMG作用下导弹均能够有效地拦截目标. 图 2(b)给出了对应的制导指令曲线图, 由于导弹机动能力的限制, 制导指令在前期出现了短暂的饱和现象, 这是为了使导弹在满足视场角和攻击角度约束的条件下能够尽快对准目标. 图 2(c)表明, FIANTSMG在不同的视场角φM约束条件下均能够使得LOS角在有限时间内收敛到期望的终端LOS角q, 且φmax越大, LOS角q收敛越快. 图 2(d)给出了导弹视场角φM的变化曲线, 表明制导律FIANTSMG使得导弹视场角φM在末制导过程中始终在给定的约束范围内.

qd=φmax=45°时, 给出针对目标机动的估计误差曲线如图 3所示.由图 3可知, 在自适应律(14)的作用下, 估计误差能够快速收敛并保持稳定, 因此是有界的.

图 3 目标机动的估计误差
3.2 以不同的期望终端LOS角qd拦截目标

假设导弹最大视场角φmax为45°, 期望的终端LOS角qd分别为30°、45°、60°, 针对FIANTSMG进行仿真分析, 结果如图 4所示.

图 4 以不同的期望终端LOS角拦截目标

图 4(a)可见, 当要求的期望终端LOS角qd不同时, 导弹在FIANTSMG作用下均能够成功地拦截目标. 图 4(b)给出了对应的制导指令曲线图, 当qd变化时, FIANTSMG前期依然出现不同程度的饱和, 之后便迅速减小. 图 4(c)表明, FIANTSMG能够使导弹在有限时间内收敛到不同的期望终端LOS角qd, 并且qd越大, LOS角q收敛时间越长. 图 4(d)表明, 当qd变化时, FIANTSMG依然能够使导弹满足给定的视场角约束.

3.3 制导律FIANTSMG和NTSMG, FSMCG仿真对比

为进一步分析ASCNTSMG的制导性能, 与现有的考虑攻击角度的约束制导律进行仿真对比.文献[21]设计了一种非奇异终端滑模制导律(NTSMG), 有

其中:目标加速度aT假设是未知的, α=5/3, β=1, M=3×103.

文献[11]设计了一种基于切换逻辑的带视场角和攻击角度约束的滑模控制制导律(FSMCG), 有

其中

假设导弹拦截目标时期望的终端LOS角qd为45°, 导弹的最大视场角φmax为45°, 对制导律FIANTSMG、NTSMG、FSMCG的制导性能进行比较分析, 结果如图 5所示.

图 5 不同制导律作用下的末制导仿真对比

图 5(a)表明, 在3种制导律作用下导弹均能够成功拦截目标, 相比于NTSMG, 制导律FIANTSMG和NTSMG末制导轨迹相对平缓, 拦截时间短. 图 5(b)给出制导指令曲线图, 可以看出3种制导指令均出现了饱和现象. FIANTSMG饱和时间短, 之后的指令曲线较为平缓; NTSMG饱和时间较长, 迫使导弹在末制导过程中作了较大范围的机动; FSMCG的指令曲线在制导末端出现了一定程度的抖动现象, 影响了导弹的制导性能. 图 5(c)表明3种制导律能能够使得导弹以期望的终端LOS角qd拦截目标, 并且确保LOS角q在拦截目标前有限时间收敛, 可以看出FIANTSMG使得LOS角q的收敛时间最短.由图 5(d)可见, NTSMG使得导弹的最大视场角φmax大于45°, 违背了视场角约束条件, 而FIANTSMG和FSMCG能够使导弹在视场角约束范围内有效地进行末制导拦截.

4 结论

本文结合非奇异终端滑模面和时变的障碍Lyapunov函数提出了一种包含攻击角度和导弹视场角约束的末制导方法, 通过将视场角约束转化为垂直于弹目视线的弹目相对速度约束, 避免了传统的制导律在考虑视场角约束时存在的指令转换的问题, 同时构造的障碍Lyapunov函数不存在积分项, 结构简单易于求解.设计的制导律不仅能够拦截静止目标, 同样也适用于机动目标的拦截, 并且针对目标机动的自适应估计增强了制导系统的鲁棒性.

基于有限时间控制理论设计的制导律保证了制导系统最终是有限时间收敛的, 提高了制导系统的收敛速率, 缩短了制导时间.

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