控制与决策  2019, Vol. 34 Issue (8): 1601-1608  
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范建平, 闫彦, 吴美琴. 基于三角Pythagorean模糊集的多准则决策方法[J]. 控制与决策, 2019, 34(8): 1601-1608.
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FAN Jian-ping, YAN Yan, WU Mei-qin. Triangular Pythagorean fuzzy set and its application to multicriteria decision making[J]. Control and Decision, 2019, 34(8): 1601-1608. DOI: 10.13195/j.kzyjc.2017.1779.
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作者简介

范建平(1975-), 男, 副教授, 博士, 从事决策科学与技术等研究, E-mail: fjp@sxu.edu.cn;
闫彦(1991-), 女, 硕士生, 从事决策科学与技术的研究, E-mail: 707548108@qq.com;
吴美琴(1980-), 女, 博士, 从事决策科学与技术等研究, E-mail: wmq80@sxu.edu.cn

通讯作者

范建平(1975-), E-mail: fjp@sxu.edu.cn

文章历史

收稿日期:2017-12-28
修回日期:2018-05-02
基于三角Pythagorean模糊集的多准则决策方法
范建平 , 闫彦 , 吴美琴     
山西大学 经济与管理学院,太原 030006
摘要:Pythagorean模糊集在直觉模糊集的基础上扩大了适用范围, 三角模糊数在决策过程中可以保留决策者较多的不确定信息.鉴于此, 首先提出三角Pythagorean模糊集的定义及其欧氏距离表示; 然后定义三角Pythagorean模糊加权平均(TPFWA)算子、广义三角Pythagorean模糊加权平均(GTPFWA)算子、三角Pythagorean模糊加权几何(TPFWG)算子和广义三角Pythagorean模糊加权几何(GTPFWG)算子, 并对算子所满足的幂等性、有界性和单调性予以证明; 最后通过一个医药代表选择的多准则决策问题和灵敏度分析验证所提出算子的合理性和有效性.
关键词三角Pythagorean模糊集    欧氏距离    三角Pythagorean模糊集结算子    广义三角Pythagorean模糊集结算子    多准则决策问题    
Triangular Pythagorean fuzzy set and its application to multicriteria decision making
FAN Jian-ping , YAN Yan , WU Mei-qin     
School of Economics and Management, Shanxi University, Taiyuan 030006, China
Abstract: Pythagorean fuzzy sets expand the range of application based on intuitionistic fuzzy sets, triangular fuzzy number reserves more uncertain information in the decision making process. Firstly, a triangular Pythagorean fuzzy set and Euclidean distance are defined. Then, triangular Pythagorean fuzzy weighted averaging (TPFWA), generalized triangular Pythagorean fuzzy weighted averaging (GTPFWA), triangular Pythagorean fuzzy weighted geometric (TPFWG) and generalized triangular Pythagorean fuzzy weighted geometric (GTPFWG) operators are defined, and correlative idempotency, boundedness and monotonity are proved. Finally the reasonableness and validity are verified by a multicriteria decision making about medical representative selection and sensitivity analysis.
Keywords: triangular Pythagorean fuzzy set    Euclidean distance    triangular Pythagorean fuzzy weighted operators    generalized triangular Pythagorean fuzzy weighted operators    multicriteria decision making    
0 引言

在现有的多准则决策问题中, 决策者对于备选方案在各准则下评价值的不确定性和模糊性越来越大, 进而加大了多属性决策问题的难度.从模糊集[1](Fuzzy set, FS)理论的提出, 到直觉模糊集[2] (Intuitionistic fuzzy set, IFS)和犹豫模糊集[3](Hesitant fuzzy set, HFS)的发展, 再到Pythagorean模糊集[4] (Pythagorean fuzzy set, PFS)的出现, 一步步对模糊集进行改进和优化. Yager等[5]提出的Pythagorean模糊集作为直觉模糊集的一个重要扩展, 扩大了隶属度和非隶属度的空间范围, 将范围从隶属度与非隶属度之和小于等于1扩大到二者平方和小于等于1, 可以广泛应用在风险评估[6]、投资[7]、模式识别和医疗诊断[8]方面, 也包括风险对心理行为的影响[9]等方面.不同类型的集结算子也被提出来, 包括拟Pythagorean模糊有序加权平均算子、广义Pythagorean模糊集结算子[10]和Pythagorean模糊交叉影响有序加权算子[11], 并且与TOPSIS[6]、相关系数[8]、前景理论[9]和相似度测量[12]等理论结合在一起进行研究.

不同的学者将各种方法和新的理论运用到模糊决策中, 对模糊决策中存在的现有问题进行改进与优化, 使其发展更加完善和合理, 如在Neutrosophic三角模糊集中提出三角Neutrosophic认知图[13]和在密集模糊环境下[14]对Neutrosophic集进行去模糊化.在三角直觉模糊集中加入了α-cut法[15]、分层序列法[16]、比率排序法[17], 并根据价值指数和模糊指数[18]对方案进行排名, 有效运用在不精确数据的建模领域[15]和矩阵对策问题中报酬矩阵[17]的元素是三角直觉模糊数等方面.三角模糊集则与随机性和概率性转换[19]相结合, 其中三角模糊相互偏好[20]关系、区间三角type-2型模糊集中的贴近度系数[21]也被改进. Yong等[22]将Zadeh的拓展法则一般化, 将加减乘除用于广义的三角模糊集中.

Wang等[23]对现有的三角直觉模糊数中算术运算和逻辑算子中存在的缺点进行改进并提出新的算术运算和逻辑算子. Sankar等[24]定义了基于一般三角直觉模糊数的非线性算术运算.三角模糊数分别与传统的犹豫模糊集[25]、直觉模糊集[26-27]和单值Neutrosophic集[28]相结合并各自提出相对应的集结算子, 合理运用在系统故障分析[23]、教学质量评估[26]和人员选择[18]等方面.

当决策者在模糊环境下对被评价单元进行评估时, 如给出某候选人在准则“一般能力”下的评价值, 其隶属度和非隶属度可能存在不确定的情形.若使用单值, 则会犹豫而无法具体确定给多少; 若使用区间, 则会出现所给区间过大包含过多的无效信息或过小而丢掉部分模糊信息的情形.同时, 在直觉模糊集中给出隶属度和非隶属度时限制条件为二者之和小于等于一, 如(0.7, 0.4)就是不行的, 但是现实中隶属度与非隶属度都比较大也是常常会出现的一种情况, Pythagorean模糊集扩大到隶属度与非隶属度平方之和小于等于一, 因此本文提出分别用三角模糊数表示Pythagorean模糊集中的隶属度和非隶属度来保留更多的不确定性.在三角Pythagorean模糊集结算子基础上提出了广义三角Pythagorean模糊集结算子, 并通过取值的变化进行灵敏度分析, 与已有方法进行比较来验证所提出算子在集结模糊信息时的有效性和稳定性.

1 相关概念

首先回顾单值Pythagorean模糊集的定义, 并在其基础上将隶属度和非隶属度用三角模糊数的形式表示, 给出三角Pythagorean模糊集(TPFS)的相关概念及欧氏距离的定义.

定义1 [6]  设X是一个非空集合, X中任意PFS表达如下:

函数μP(x)和νP(x)分别为集合P中元素xX的隶属度和非隶属度, 满足约束条件

表示元素x属于X的犹豫度(不确定程度), πp(x)值越小表明关于x的有用信息越多, 反之亦然.为了使用方便, 通常采用Pythagorean模糊数[6](PFN), 表示为γ=P(μP, νP).

定义2    设X是一个非空集合, X中任意TPFS表达如下:

分别是两个三角模糊数, :X→[0, 1], :X→[0, 1]分别为集合P中元素xX的隶属度和非隶属度, 即元素x对集合X的属于程度和不属于程度, 满足约束条件0≤(μP3(x))2+(νP3(x))2≤1, xX.参考PFS中犹豫度的定义, 三角Pythagorean模糊集中犹豫度定义为, 用来表明元素x对集合X的犹豫程度, 由其定义可知具体表示也应该是一个三角模糊数, 有

μP1(x)=μP2(x)=μP3(x), νP1(x)=νP2(x) =νP3(x)成立时, 三角Pythagorean模糊集(TPFS)退化为简单的Pythagorean模糊集(PFS).

为了表述和实际使用方便, 定义TPFS的元素(μP(x), νP(x))为三角Pythagorean模糊数(TPFN), 记作.其中: , .或简单记为.其犹豫度的实际意义与三角Pythagorean模糊集中犹豫度一样, 是一个三角模糊数的形式, 表示为

其中: μP3∈[0, 1], νP3∈[0, 1], 0≤(μP3)2+(νP3)2≤1. μP1=μP2=μP3νP1=νP2=νP3成立时, 三角Pythagorean模糊数(TPFN)退化为Pythagorean模糊数[6](PFN).

定义3[5]   的补集定义为, 其中的表达同定义2, 其补集仍然为TPFS.

受文献[6]中PFNs代数运算和两个PFNs之间距离定义的启发, 类似地, 三角Pythagorean模糊数(TPFNs)的代数运算[6]满足如下定义4的表示.下面的定义5给出了TPFNs的得分函数[6], 定义6给出了TPFNs的欧氏距离.

定义4  有3个TPFNs, , 同时满足, 和一个正实数λ, 其代数运算表示为

定义4中所定义的4个运算结果仍然是TPFNs, 证明过程略.

定义5   是一个TPFN, 其得分函数定义为

, 其值越大, 表明相对应的三角模糊数越大.

可以根据计算得到的得分函数比较两个TPFNs, 当得分函数相等时, 根据其精确函数比较二者大小.同一个模糊环境下, 不同学者对于得分函数和精确函数的定义各不相同, 本文选取适合文中模型的定义.比较方法[7]如下:

1) 若, 则;

2) 若, 则;

3) 若, 则.

定义6  是两个TPFNs, 二者的犹豫度分别定义为(g1, h1, i1)和(g2, h2, i2), 则二者之间的欧氏距离表示为

由于距离函数的定义与PFNs的距离函数定义相似, TPFNs的欧氏距离函数定义应满足下面的定理1.当TPFN退化为PFN时, 二者之间的距离也退化为简单的距离.

定理1  是两个TPFNs, 有.

证明  因为ai, bi, ci, di, ei, fi, gi, hi, ii(i=1, 2)均在[0, 1]之间, g12=1-c12-f12, h12=1-b12-e12, i12=1-a12-d12, 且ci2+fi2≤1.由定义6的表达可知一定成立, 不等式左半部分证明完毕, 当且仅当, 相等时取等于0.现证明不等式右半部分, 有

2 三角Pythagorean模糊算子

基于Pythagorean模糊平均算子和Pythagorean模糊几何算子[4]、广义毕达哥拉斯模糊集成算子[10], 提出了三角Pythagorean模糊环境下的两个基本集结算子以及在此基础上的两个广义集结算子, 即三角Pythagorean模糊加权平均(TPFWA)算子、三角Pythagorean模糊加权几何(TPFWG)算子、广义三角Pythagorean模糊加权平均(GTPFWA)算子和广义三角Pythagorean模糊加权几何(GTPFWG)算子, 同时对集结算子应该满足的特性予以证明.

2.1 三角Pythagorean模糊加权平均算子

定义7   是三角Pythagorean模糊数(TPFN)的一个集合, 则三角Pythagorean模糊加权平均(Triangular pythagorean fuzzy weighted averaging, TPFWA)算子定义如下:

其中W=(w1, w2, ..., wn)T相对应的权重向量, 满足wj∈[0, 1]且.基于定义4中关于TPFNs的运算法则, TPFWA算子满足如下定理.

定理2  令为TPFNs的一个集合, 则TPFWA算子的集结结果也是一个TPFN, 表示为

定理2可由数学归纳法证明得到, 此略.由定理2的证明过程可以观察到TPFWA算子分别满足幂等性、有界性和单调性.

性质1(幂等性)  若

对于任意i都成立, 则有

性质2(有界性)  令

性质3(单调性)  令, 是两个不同的TPFNs集合, 对于任意i都有, 则有

证明   1)幂等性.有

2) 有界性.因为, 所以有

根据性质1有

3) 单调性.对于任意i都有, 所以有

结合定义1如下不等式成立:

2.2 广义三角Pythagorean模糊加权平均算子

定义8   是TPFN的一个集合, 则广义三角Pythagorean模糊加权平均(Generalized triangular Pythagorean fuzzy weighted averaging, GTPFWA)算子定义为

其中: λ>0, 起调节作用; w同定义6.

当λ=1时, GTPFWA算子退化为TPFWA算子.基于定义4关于TPFNs的运算法则, GTPFWA算子的计算结果满足如下定理.

定理3   令为TPFNs的一个集合, 则GTPFWA算子的集结结果也是一个TPFN, 表示为

2.3 三角Pythagorean模糊加权几何算子

定义9 是TPFNs的一个集合, 则三角Pythagorean模糊加权几何(Triangular Pythagorean fuzzy weighted geometric, TPFWG)算子定义为

TPFWG算子满足如下定理.

定理4  令为TPFNs的一个集合, 则TPFWG算子的集结结果也是一个TPFN, 表示为

TPFWG算子所满足的幂等性、有界性和单调性的表达式与TPFWA算子的相似, 此略.

2.4 广义三角Pythagorean模糊加权几何算子

定义10   是TPFN的一个集合, 则广义三角Pythagorean模糊加权几何(Generalized triangular Pythagorean fuzzy weighted geometric, GTPFWG)算子定义为

其中w表示同上.当λ=1时, GTPFWG算子退化为TPFWG算子, GTPFWG算子满足如下定理.

定理5  令为TPFNs的一个集合, 则GTPFWG算子的集结结果也是一个TPFN, 表示为

3 模型构建

对三角Pythagorean模糊环境下的多准则决策问题进行分析: X={x1, x2, ..., xm}(m≥2)是有m个方案的集合, C={C1, C2, ..., Cn}是有n个准则的决策准则集, W=(w1, w2, ..., wn)T是与准则集相对应的权重向量, 满足0≤wj≤1且定义方案xi(i=1, 2, ..., m)在准则Cj(j=1, 2, ..., n)下的估计值为三角Pythagorean模糊数的表达形式, 即, 则是一个Pythagorean模糊决策矩阵.所以, 元素是TPFNs的多准则决策问题为如表 1所示的矩阵形式.矩阵中元素是一个TPFN, (aij, bij, cij)⊂[0, 1]表示方案xi满足准则Cj的值, (dij, eij, fij)⊂[0, 1]表示方案xi不满足准则Cj的值, 且共同满足cij2+fij2≤1(i=1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n).

表 1 元素是TPFNs的多准则决策问题的矩阵表示

下面提出三角Pythagorean模糊环境下基于TFPWA算子和TFPWG算子解决多准则决策问题的具体步骤, 见图 1, 通过将成本型准则所对应的评价信息做求补运算来进行标准化.

图 1 多准则决策问题程序
4 应用实例

为了验证本文所提出算子的实用性, 对Pranab Biswas等[28]提出的医药代表选择问题进行计算与分析, 该问题是涉及到TPFNs的一个多属性决策问题.现有一家制药公司欲重新雇佣一名医药代表, 最后一个阶段对4名候选人xi(i=1, 2, 3, 4)在5个准则下进行考察.对应于准则的权重向量为W=(0.1, 0.25, 0.25, 0.15, 0.25)T.准则集依照次序分别表示:口语交际能力、过往经历、一般能力、个人意愿和自信. 4位候选人在每个准则下的评价值所在的决策矩阵见表 2, 表中元素分别为每一位候选人在相对应准则下的隶属度与非隶属度.

表 2 医药代表选择算例对应的决策矩阵

为了选出最适合的医院代表, 现在分别使用TPFWA算子和TPFWG算子进行计算分析.

4.1 TPFWA算子

Step 1:标准化决策矩阵.

因为所有指标均为效益型指标, 对于表 3所示的决策矩阵不进行变换.

表 3 分别由TPFWA和TPFGA算子计算相关结果及排名

Step 2:计算集结值.

根据定理1公式中TFPWA算子计算每个候选人xi集结后的值, 即

Step 3:计算每一个集结值的得分函数.

根据定义5得分函数的公式计算每一个集结值的得分函数.

Step 4:基于确定最优方案.

根据对候选人进行排序, 得到x2x1x4x3, 即第2位候选人是最为合适的医药代表.

4.2 TPFWG算子

TPFWG算子的计算过程与TPFWA算子类似, Step 2中根据定理3 TFPWG算子来计算方案集结后的值, 计算结果见表 3, 通过表 3可得排名结果与TPFWA算子结果一样.

4.3 与其他方法的比较

本文算例同时与TOPSIS方法[6]和文献[28]算例进行比较, 结果见表 4.表 4中TOPSIS计算结果为各候选人的相对贴近度.基于文献[6]所提出的TOPSIS方法, 确立每个方案的相对贴近度时采取定义6中欧氏距离和得分函数进行计算.

表 4 分别由TPFWA和TPFGA算子计算相关结果及排名
4.4 灵敏度分析

为了检验TPFWA算子和TPFWG算子的准确性和稳定性, 并得到计算结果及排名值随λ变换的情况, 现将λ的值从1变化到100, 由本文所提TPFWA算子、TPFWG算子、GTPFWA算子和GTPFWG算子各自进行计算.当λ=1时, GTPFWA算子和GTPFWG算子分别退化为TPFWA算子和TPFWG算子, 最后的计算结果见表 4.由表 4可以看到, λ=1是决策者态度较为中立且最自然合理的一种状态, 当λ逐渐增大时, 尽管各备选方案的集结值和得分函数会不停变换, 但是其排名值一直保持稳定, 很好地表明了本文所提算子的合理性和稳定性.同时在计算过程中发现, 当λ逐渐增大到20时, 广义三角Pythagorean模糊加权平均(GTPFWA)算子要优于广义三角Pythagorean模糊加权几何(GTPFWG)算子, 后者的计算结果会先于前者出现0.因此, 可以认为TPFWA算子在处理Pythagorean模糊信息时的灵敏性要优于TPFWG算子, 同时GTPFWA算子优于GTPFWG算子.由表 4同样可以看出, 本文与文献[6]和文献[28]所提出方法进行的比较分析也验证了所提出模型的有效性。

5 结论

本文将Pythagorean模糊集中的隶属度和非隶属度用三角模糊数的形式进行表示, 可以保留更多的不确定决策信息.当对决策信息进行集结时, 参考Pythagorean模糊集中给出的代数运算和欧氏距离表示, 给出了三角Pythagorean模糊集中相对应的代数运算和距离定义, 提出了TPFWA和TPFWG算子, 并通过解决医药代表选择决策问题验证了所提出算子的有效性.为了验证所提出算子的稳定性又提出了GTPFWA和GTPFWG算子, 通过λ的变化对算例作灵敏度分析.在应用实例部分通过灵敏度分析和与其他已有方法进行比较分析, 说明了本文所提模型的实用性.将来的研究可以进一步观察TPFWA算子和TPFWG算子的各自应用范围.

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